2615. Из формул площади поверхности шара $$S = 4\pi r^2$$ и объёма шара $$V = \frac{4\pi r^3}{3}$$ выразите объём шара $$V$$ через площадь поверхности $$S$$. Все величины положительные.

Дано: $$S = 4\pi r^2$$ и $$V = \frac{4\pi r^3}{3}$$. Выразить: $$V$$ через $$S$$. Решение: 1. Выразим $$r^2$$ из формулы площади поверхности: $$r^2 = \frac{S}{4\pi}$$. 2. Выразим $$r$$ (так как все величины положительные): $$r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$. 3. Представим $$V$$ как $$V = \frac{4\pi}{3} r^2 \cdot r = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{S}{4\pi} \cdot \sqrt{\frac{S}{4\pi}} = \frac{S}{3} \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$. 4. Упростим: $$V = \frac{S}{3} \cdot \frac{\sqrt{S}}{2\sqrt{\pi}} = \frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{\pi}}$$. 5. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $$V = \frac{S\sqrt{S} \sqrt{\pi}}{6\pi} = \frac{\sqrt{\pi S^3}}{6\pi}$$. Ответ: $$V = \frac{S}{3} \sqrt{\frac{S}{4\pi}} = \frac{\sqrt{\pi S^3}}{6\pi}$$