8. Из перечисленных многочленов выпишите те, значе- ния которых положительны при всех значениях входящих в них переменных; отрицательны при всех значениях вхо- дящих в них переменных: 1) x⁴+2x²+5, x⁷+x³+x, -x²-7; 2) -a²-u²-a⁴u²-3, -a-u-6, a²+ u²+ 5.

8. Из перечисленных многочленов выпишите те, значения которых положительны при всех значениях входящих в них переменных; отрицательны при всех значениях входящих в них переменных:

1) Положительные: $$x^4 + 2x^2 + 5$$ (так как $$x^4$$ всегда неотрицательно, $$2x^2$$ всегда неотрицательно, и мы прибавляем 5). Отрицательные: $$-x^2 - 7$$ (так как $$-x^2$$ всегда неположительно, и мы вычитаем 7). Для $$x^7 + x^3 + x$$ нельзя однозначно сказать, является ли многочлен положительным или отрицательным при всех значениях x.

2) Отрицательные: $$-a^2 - u^2 - a^4u^2 - 3$$ (так как $$-a^2$$, $$-u^2$$, $$-a^4u^2$$ всегда неположительны, и мы вычитаем 3). Для $$-a - u - 6$$ нельзя однозначно сказать, является ли многочлен положительным или отрицательным при всех значениях a и u. Положительные: $$a^2 + u^2 + 5$$ (так как $$a^2$$ всегда неотрицательно, $$u^2$$ всегда неотрицательно, и мы прибавляем 5).

Ответ: 1) Положительные: $$x^4 + 2x^2 + 5$$, Отрицательные: $$-x^2 - 7$$; 2) Отрицательные: $$-a^2 - u^2 - a^4u^2 - 3$$, Положительные: $$a^2 + u^2 + 5$$.