Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за ним из пункта А вышла моторная лодка, которая догнала плот на расстоянии 20 км от пункта А. С какой скоростью двигался плот, если известно, что моторная лодка шла быстрее его на 12 км/ч?

Пусть $$v$$ - скорость плота (и течения реки) в км/ч. Тогда скорость лодки равна $$v + 12$$ км/ч. Плот двигался до момента встречи с лодкой время $$t_1 = \frac{20}{v}$$ часов. Лодка вышла через 5 часов 20 минут после плота, что составляет $$5 + \frac{20}{60} = 5 + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$$ часа. Таким образом, лодка двигалась время $$t_2 = t_1 - \frac{16}{3} = \frac{20}{v} - \frac{16}{3}$$ часов. За это время лодка проплыла 20 км со скоростью $$v + 12$$ км/ч. Следовательно, можно записать уравнение: $$(v+12) \cdot \left(\frac{20}{v} - \frac{16}{3}\right) = 20$$ Умножим обе части уравнения на $$3v$$: $$3v(v+12) \left(\frac{20}{v} - \frac{16}{3}\right) = 60v$$ $$(v+12)(60 - 16v) = 60v$$ $$60v - 16v^2 + 720 - 192v = 60v$$ $$-16v^2 - 132v + 720 = 0$$ $$16v^2 + 132v - 720 = 0$$ Разделим на 4: $$4v^2 + 33v - 180 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант равен: $$D = 33^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-180) = 1089 + 2880 = 3969 = 63^2$$ Корни уравнения: $$v_1 = \frac{-33 + 63}{2 \cdot 4} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3.75$$ $$v_2 = \frac{-33 - 63}{8} = \frac{-96}{8} = -12$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 3.75$$ км/ч. Ответ: 3.75 км/ч