4. KO – перпендикуляр к плоскости, KM и KP – наклонные к плоскости, их проекции, причем $$OM = \frac{1}{3} OP$$. Найдите расстояние от точки K до плоскости, если $$KM = 6$$ см, $$KP = 10$$ см.

Пусть $$KO = h$$ – расстояние от точки $$K$$ до плоскости. Пусть $$OM = x$$, тогда $$OP = 3x$$. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $$KMO$$ и $$KPO$$: $$KM^2 = KO^2 + OM^2$$ и $$KP^2 = KO^2 + OP^2$$. Подставим известные значения: $$6^2 = h^2 + x^2$$ и $$10^2 = h^2 + (3x)^2$$. Получим систему уравнений: $$\begin{cases} 36 = h^2 + x^2 \\ 100 = h^2 + 9x^2 \end{cases}$$ Вычтем из второго уравнения первое: $$100 - 36 = h^2 + 9x^2 - (h^2 + x^2)$$, $$64 = 8x^2$$, $$x^2 = 8$$, $$x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ см. Теперь найдем $$h^2$$ из первого уравнения: $$h^2 = 36 - x^2 = 36 - 8 = 28$$, $$h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$ см. Ответ: Расстояние от точки $$K$$ до плоскости равно $$2\sqrt{7}$$ см.