3. Точка D равноудалена от вершин прямоугольного треугольника ABC (угол C – прямой) на 8 см. (рис. 2.) Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC, если AC = 12 см, ∠BAC = 30°.

Пусть $$DO$$ – перпендикуляр к плоскости $$ABC$$. Так как $$D$$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника $$ABC$$, то $$O$$ – центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Поэтому $$O$$ – середина $$AB$$. В треугольнике $$ABC$$: $$\angle C = 90°$$, $$\angle BAC = 30°$$, $$AC = 12$$ см. Тогда $$BC = AC \cdot tg(30°) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$ см. $$AB = \frac{AC}{cos(30°)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$$ см. $$AO = BO = \frac{1}{2} AB = 4\sqrt{3}$$ см. Треугольник $$ADO$$ – прямоугольный, $$AD = 8$$ см, $$AO = 4\sqrt{3}$$ см. По теореме Пифагора: $$DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$$ см. Ответ: Расстояние от точки $$D$$ до плоскости $$ABC$$ равно 4 см.