3. Из точек С и D, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна 45°, проведены к его ребру перпендикуляры DA и СВ. Найдите отрезок DC, если АВ=3 см, AD = 6√2 см, ВС = 8 см.

3. Пусть $$E$$ и $$F$$ - основания перпендикуляров из точек $$C$$ и $$D$$ к ребру двугранного угла. Тогда $$\angle EDF = 45^\circ$$, $$DA = 6\sqrt{2}$$, $$CB = 8$$ и $$AB = 3$$. Рассмотрим четырехугольник $$DABE$$. Поскольку $$DA$$ и $$CB$$ перпендикулярны к общему ребру, то угол между $$DA$$ и $$CB$$ равен $$45^\circ$$ или $$135^\circ$$. В данном случае $$45^\circ$$. Найдем $$DC$$. Для этого рассмотрим треугольник $$DAC$$. $$CD^2 = DA^2 + AC^2 - 2DA \cdot AC \cdot \cos \angle DAC$$ Чтобы решить эту задачу, проведем $$AE || BC$$. Тогда $$ABCE$$ - параллелограмм и $$CE = AB = 3$$. Значит, $$DE = |AD - AE| = |6\sqrt{2} - 8|$$. Рассмотрим треугольник $$CDE$$. В нем $$CD^2 = CE^2 + DE^2 - 2 \cdot CE \cdot DE \cdot \cos 45^\circ$$. Подставим значения: $$CD^2 = 3^2 + (6\sqrt{2} - 8)^2 - 2 \cdot 3 \cdot (6\sqrt{2} - 8) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$CD^2 = 9 + 72 - 96\sqrt{2} + 64 - 18 + 24\sqrt{2} = 127 - 72\sqrt{2}$$ $$CD = \sqrt{127 - 72\sqrt{2}}$$ Ответ: $$\sqrt{127 - 72\sqrt{2}}$$ см