2. Из точки С к плоскости α провели наклонные СА и СВ, образующие с ней углы 45° и 30° соответственно. Найдите проекцию наклонной СВ на плоскость α, если СА=8√6 см.

2. Пусть $$A$$ и $$B$$ - основания наклонных $$CA$$ и $$CB$$ соответственно, а $$H$$ - проекция точки $$C$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$\angle CAH = 45^\circ$$ и $$\angle CBH = 30^\circ$$. Требуется найти длину $$BH$$. В прямоугольном треугольнике $$CAH$$: $$\sin(45^\circ) = \frac{CH}{CA}$$ $$CH = CA \cdot \sin(45^\circ) = 8\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{3}$$ В прямоугольном треугольнике $$CBH$$: $$\sin(30^\circ) = \frac{CH}{CB}$$ $$CB = \frac{CH}{\sin(30^\circ)} = \frac{8\sqrt{3}}{1/2} = 16\sqrt{3}$$ В прямоугольном треугольнике $$CBH$$: $$BH = CB \cdot \cos(30^\circ) = 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24$$ Ответ: **24 см**