4. Ортогональной проекцией треугольника АВС на некоторую плоскость является равносторонний треугольник А₁В₁С₁, сторона которого равна 4 см. Найдите угол между плоскостями АВС и А₁В₁С₁, если площадь треугольника АВС равна 8 см².

4. Пусть $$\alpha$$ - угол между плоскостями $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Тогда площадь проекции $$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$$. Площадь равностороннего треугольника $$A_1B_1C_1$$ со стороной 4 равна: $$S_{A_1B_1C_1} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$ Имеем: $$4\sqrt{3} = 8 \cdot \cos(\alpha)$$ $$\cos(\alpha) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$$ Ответ: **30°**