1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2√6 см, а его измерения относятся как 1: 1: 2. Найдите: a) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

1. **a) Измерения параллелепипеда:** Пусть стороны основания равны $$x$$, а высота равна $$2x$$. Диагональ параллелепипеда $$d$$ равна $$2\sqrt{6}$$. Тогда, по теореме Пифагора для параллелепипеда: $$d^2 = x^2 + x^2 + (2x)^2$$ $$(2\sqrt{6})^2 = x^2 + x^2 + 4x^2$$ $$24 = 6x^2$$ $$x^2 = 4$$ $$x = 2$$ (т.к. длина не может быть отрицательной) Таким образом, стороны основания равны 2 см, а высота равна 4 см. Ответ: **2 см, 2 см, 4 см** **б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания:** Пусть $$\alpha$$ - угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания. Тогда синус этого угла равен отношению высоты параллелепипеда к его диагонали: $$\sin(\alpha) = \frac{2x}{d} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$