24) Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 5.

Пусть из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности с центром в точке O. Угол между касательными ∠BAC = 60°. AO = 5. Нужно найти радиус окружности OB. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, следовательно, AB = AC. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Следовательно, ∠ABO = ∠ACO = 90°. Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный, ∠ABO = 90°. Угол ∠BAO равен половине угла ∠BAC, так как AO - биссектриса угла ∠BAC. ∠BAO = ∠BAC / 2 = 60° / 2 = 30° В прямоугольном треугольнике ABO: tg(∠BAO) = OB / AB sin(∠BAO) = OB / AO sin(30°) = OB / 5 1/2 = OB / 5 OB = 5 / 2 = 2.5 Ответ: 2.5.