23) Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 10.

Пусть из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности с центром в точке O. Угол между касательными ∠BAC = 60°. Радиус окружности OB = OC = 10. Нужно найти расстояние AO. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, следовательно, AB = AC. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Следовательно, ∠ABO = ∠ACO = 90°. Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов четырехугольника равна 360°. ∠BAC + ∠ABO + ∠BOC + ∠ACO = 360° 60° + 90° + ∠BOC + 90° = 360° ∠BOC = 360° - 60° - 90° - 90° = 120° Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный, ∠ABO = 90°. Угол ∠BAO равен половине угла ∠BAC, так как AO - биссектриса угла ∠BAC. ∠BAO = ∠BAC / 2 = 60° / 2 = 30° В прямоугольном треугольнике ABO: sin(∠BAO) = OB / AO sin(30°) = 10 / AO 1/2 = 10 / AO AO = 2 * 10 = 20 Ответ: 20.