4. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 6.

Пусть касательные из точки A касаются окружности в точках T1 и T2. Тогда угол T1AT2 = 60°. AO является биссектрисой угла T1AT2, следовательно, угол T1AO = 30°. Радиус окружности OT1 перпендикулярен касательной AT1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AT1O. В нем угол T1AO = 30°, а катет OT1 = 6 (радиус).

$$sin(30°) = \frac{OT1}{AO}$$

$$\frac{1}{2} = \frac{6}{AO}$$

$$AO = 2 \cdot 6 = 12$$

Ответ: 12