7. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длину общего перпендикуляра, если проекции наклонных относятся как 2:3 и длины наклонных равны 23 см и 33 см.

Пусть из точки A к плоскости проведены наклонные AB и AC, AO - перпендикуляр к плоскости. Тогда OB и OC - проекции наклонных AB и AC соответственно.

Дано: AB = 23 см, AC = 33 см, OB : OC = 2 : 3

Найти: AO

Решение:

Пусть OB = 2x, OC = 3x.

Тогда из прямоугольных треугольников AOB и AOC:

AO² = AB² - OB² = 23² - (2x)² = 529 - 4x²

AO² = AC² - OC² = 33² - (3x)² = 1089 - 9x²

Приравняем:

529 - 4x² = 1089 - 9x²

5x² = 560

x² = 112

x = √112 = 4√7

AO² = 529 - 4 * 112 = 529 - 448 = 81

AO = √81 = 9 см

Ответ: 9 см