10. Из вершины D квадрата ABCD со стороной 2 см к его плоскости проведен перпендикуляр DK-2см. Найти площадь треугольника АВК.

Дано: ABCD - квадрат, DK ⊥ (ABCD), DK = 2 см, AB = 2 см.

Найти: S(ABK)

Решение:

Так как DK перпендикулярен плоскости квадрата, то DK перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, DK ⊥ AD и DK ⊥ DC.

Треугольник ADK - прямоугольный, AD = DK = 2 см.

AK² = AD² + DK² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8

AK = √8 = 2√2 см

Треугольник ABK. AB = 2 см. Рассмотрим треугольник DKB. Он прямоугольный, DK = 2 см, KB²=DK^2+DB^2, BD диагональ квадрата и равна 2√2. Тогда KB²=4+8=12. KB = 2√3.

S(ABK) = 1/2 * AB * h , где h - высота, проведенная к стороне AB.

Так как DK ⊥ (ABCD), то DK ⊥ AB. Следовательно, высота треугольника ABK, проведенная к стороне AB, равна DK.

S(ABK) = 1/2 * AB * DK = 1/2 * 2 * 2 = 2 см²

Ответ: 2 см²