5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проек- ции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если одна из наклон- ных на 5 см больше другой.

5. Пусть дана точка A вне прямой l. Из точки A проведены две наклонные AB и AC к прямой l, проекции которых на прямую равны BH = 9 см и HC = 16 см. Пусть AB = x, тогда AC = x + 5. Расстояние от точки A до прямой l - это длина перпендикуляра AH. Обозначим AH = h.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$x^2 = h^2 + 9^2$$

$$x^2 = h^2 + 81$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AH^2 + HC^2$$

$$(x + 5)^2 = h^2 + 16^2$$

$$x^2 + 10x + 25 = h^2 + 256$$

Подставим x^2 = h^2 + 81 в уравнение:

$$h^2 + 81 + 10x + 25 = h^2 + 256$$

$$10x + 106 = 256$$

$$10x = 150$$

$$x = 15 \text{ см}$$

Тогда:

$$AC = 15 + 5 = 20 \text{ см}$$

Подставим x = 15 в уравнение x^2 = h^2 + 81:

$$15^2 = h^2 + 81$$

$$225 = h^2 + 81$$

$$h^2 = 225 - 81 = 144$$

$$h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Ответ: 12 см