4. Высота ВМ равнобедренного треугольника АВС (АВ = АС) делит сторону АС на отрезки АМ = 15 см и СМ = 2 см. Найдите основание треугольника АВС.

4. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Высота BM делит сторону AC на отрезки AM = 15 см и CM = 2 см. Необходимо найти основание AC.

$$AC = AM + CM = 15 + 2 = 17 \text{ см}$$

Так как треугольник равнобедренный, то AB = AC = 17 см.

Высота BM является также медианой, следовательно, M - середина AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. В нем AB - гипотенуза, AM и BM - катеты. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

$$BM^2 = AB^2 - AM^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$$

$$BM = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, является медианой. Пусть H - середина AC. Тогда AH = HC = AC / 2 = 17 / 2 = 8.5 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем AB - гипотенуза, AH и BH - катеты. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 17^2 - 8.5^2 = 289 - 72.25 = 216.75$$

$$BH = \sqrt{216.75} \approx 14.72 \text{ см}$$

Нам нужно найти основание BC. Высота BM не является медианой.

Необходимо найти основание треугольника ABC. В условии сказано, что высота BM равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AC на отрезки AM = 15 см и CM = 2 см. Необходимо найти основание BC.

Так как AC = AM + CM = 15 + 2 = 17 см, следовательно, AB = AC = 17 см.

Известно, что BM - высота, тогда треугольник ABM - прямоугольный, AM = 15 см, AB = 17 см. Тогда по теореме Пифагора:

$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

Для того, чтобы найти BC, нужно найти MC. Рассмотрим треугольник BMC, он прямоугольный, MC = 2 см, BM = 8 см. Тогда по теореме Пифагора:

$$BC = \sqrt{BM^2 + MC^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \text{ см}$$

Ответ: $$2\sqrt{17}$$ см