1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите меньший катет треугольника.

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90 градусов. Высота CH проведена к гипотенузе AB и делит ее на отрезки AH = 9 см и HB = 16 см. Необходимо найти меньший катет, то есть AC.

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла, имеем:

$$CH^2 = AH \cdot HB$$

$$CH^2 = 9 \cdot 16 = 144$$

$$CH = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем AC - гипотенуза, AH и CH - катеты. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$

$$AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$

$$AC = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. В нем BC - гипотенуза, HB и CH - катеты. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = HB^2 + CH^2$$

$$BC^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$$

$$BC = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$$

Меньший катет - это AC, так как 15 < 20.

Ответ: 15 см