4. Из точки \(M\) к окружности с центром \(O\) проведены касательные \(MA\) и \(MB\). Найдите расстояние между точками касания \(A\) и \(B\), если \(\angle AOB = 60°\) и \(MA = 9\).

Так как \(MA\) и \(MB\) - касательные к окружности, то \(OA \perp MA\) и \(OB \perp MB\). Рассмотрим четырехугольник \(MAOB\). Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, \(\angle AMB = 360° - \angle AOB - \angle OAM - \angle OBM = 360° - 60° - 90° - 90° = 120°\). Так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, то \(MA = MB = 9\). Значит, треугольник \(AMB\) - равнобедренный с углом при вершине \(M\), равным 120°. Тогда углы при основании равны: \(\angle MAB = \angle MBA = (180° - 120°) / 2 = 30°\). Рассмотрим треугольник \(OAM\). Он прямоугольный, \(\angle OAM = 90°\), \(MA = 9\). \(\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°\). Тогда \(OA = MA \cdot \tan(\angle AMO)\) Рассмотрим треугольник \(AOB\). Так как \(OA = OB\), то треугольник равнобедренный. Угол \(\angle AOB = 60^\circ\), значит, углы при основании тоже по 60 градусов. Получается, что треугольник \(AOB\) - равносторонний. Значит, \(AB = OA = OB\). Так как \(\angle AOB = 60^\circ\) и \(MA = 9\), то расстояние между точками касания равно \(9\). Ответ: 9