18. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите 1 между точками касания А и В, если ДАОВ= 120° и МО = 4.

Смотри, тут всё просто:

1. Касательные МА и МВ образуют прямые углы с радиусами ОА и ОВ, проведенными в точки касания A и B.
2. Четырехугольник AOBM имеет углы ∠MAO = 90° и ∠MBO = 90°. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, значит, ∠AMB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.
3. Треугольники MAO и MBO равны (по катету и гипотенузе), следовательно, ∠AMO = ∠BMO = ∠AMB / 2 = 30°.
4. Пусть радиус окружности равен r. В прямоугольном треугольнике MAO: sin(∠AMO) = OA / MO, то есть sin(30°) = r / 4. Так как sin(30°) = 0.5, то r = 4 * 0.5 = 2.
5. В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB = r = 2) угол ∠AOB = 120°. По теореме косинусов: AB² = OA² + OB² - 2 * OA * OB * cos(∠AOB) = 2² + 2² - 2 * 2 * 2 * cos(120°) = 4 + 4 - 8 * (-0.5) = 8 + 4 = 12. Следовательно, AB = √12 = 2√3.

Ответ: 2√3