4. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если LAOB = 120° и МО = 4.

OA = OB = r - радиусы окружности, MA и MB - касательные, следовательно, ∠MAO = ∠MBO = 90°. ∠AOB = 120°, MO = 4.

1. В четырехугольнике MAOB: ∠AMB = 360° - ∠MAO - ∠MBO - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM: sin(∠AMO) = AO / MO. ∠AMO = ∠AMB / 2 = 60° / 2 = 30°.

3. sin(30°) = 1/2, AO = MO * sin(30°) = 4 * (1/2) = 2.

4. AO = BO = 2

5. Рассмотрим треугольник AOB: ∠AOB = 120°, AO = BO, значит, треугольник равнобедренный.

6. ∠OAB = ∠OBA = (180° - 120°) / 2 = 30°.

7. По теореме косинусов: AB² = AO² + BO² - 2 * AO * BO * cos(∠AOB) = 2² + 2² - 2 * 2 * 2 * cos(120°) = 4 + 4 - 8 * (-1/2) = 8 + 4 = 12. AB = √12 = 2√3

Ответ: 2√3