3. К окружности с диаметром АВ в точке А проведена касательная. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружность в точке С и касательную в точке К. Через точку С проведена хорда CD параллельно АВ так, что получилась трапеция ACDВ. Через точку D проведена касательная, пересекающая прямую АК в точке Е. Найдите радиус окружности, если прямые ДЕ и ВС параллельны, 2 EDC = 30° и_KB = 14√3.

Пусть O - центр окружности, r - радиус окружности.

1. ∠ABK = 90° (касательная перпендикулярна диаметру)

2. ∠EDC = 30°

3. BC || DE

4. CD || AB

5. KB = 14√3

6. Пусть ∠CBK = x, тогда ∠ABC = 90° - x

7. ∠CDA = ∠BAC = 90° - x (CD || AB)

8. ∠K = 90° - x

9. В трапеции ACDB углы при основании AD равны, следовательно, трапеция равнобокая.

10. Угол между касательной DE и хордой CD равен углу, образованному этой хордой и диаметром AB, то есть ∠EDC = ∠BAC = 30°.

11. Тогда ∠CBK = ∠CBK = 60° (т.к. ∠ABC = 90° - x = 90° - 60° = 30°)

12. В прямоугольном треугольнике ABK: tg(∠K) = AB / KB. tg(60°) = √3, AB = KB * tg(60°) = 14√3 * √3 = 14 * 3 = 42.

13. r = AB / 2 = 42 / 2 = 21

Ответ: 10,5