6. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 32, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 8√15.

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, BD = 32, ∠A = 45°, BC = 8√15. Найти CD.

1. Проведем высоту BH к AD. Тогда ABHD - прямоугольник, BH = CD.

2. В прямоугольном треугольнике ABD, ∠A = 45°, значит, ABD - равнобедренный, AD = AB.

3. По теореме Пифагора, BD² = AB² + AD² = 2 * AB². AB = BD / √2 = 32 / √2 = 16√2.

4. AD = AB = 16√2.

5. HD = AD - AH = AD - BC = 16√2 - 8√15.

6. В прямоугольном треугольнике BHD, BD² = BH² + HD². BH² = BD² - HD² = 32² - (16√2 - 8√15)² = 1024 - (512 - 256√30 + 960) = 1024 - 1472 + 256√30 = -448 + 256√30.

7. BH = √(-448 + 256√30)

8. CD = BH = √(-448 + 256√30)

9. CD = √(-448 + 256√30) = √(-448 + 256 * 5.47) = √(-448 + 1400) = √952 ≈ 30.85.

Ответ: 8√2