Из центра окружности О к хорде АВ, равной 20 см, проведен перпендикуляр ОС. Найдите его длину, если \( \angle OBA = 45^{\circ} \).

Решение:

\( OC \) — перпендикуляр к хорде \( AB \), следовательно, \( OC \) делит хорду пополам. \( AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) см.

Рассмотрим треугольник \( OCB \). \( OB \) — радиус окружности. \( OC \) — катет, \( CB \) — катет, \( OB \) — гипотенуза. \( \angle OCB = 90^{\circ} \).

По условию \( \angle OBA = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( OCB \) сумма углов \( \angle OCB + \angle CBO + \angle BOC = 180^{\circ} \).

\( 90^{\circ} + 45^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ} \)

\( \angle BOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle OBA = \angle BOC = 45^{\circ} \), то треугольник \( OCB \) — равнобедренный с \( OC = CB \).

\( OC = 10 \) см.

Ответ: \( OC = 10 \) см.