Из ящика с 6 белыми и 3 черными шарами наудачу взяты два шара и переложены в ящик с 5 белыми и 7 черными шарами. А затем из второго ящика вынут один шар. Найдите вероятность, что этот шар белый.

Пошаговое решение:

1. Сначала рассмотрим возможные сценарии перекладывания двух шаров из первого ящика во второй:
   • Два белых шара (ББ)
   • Два черных шара (ЧЧ)
   • Один белый и один черный шар (БЧ или ЧБ)
2. Рассчитаем вероятности каждого из этих сценариев:
   • Вероятность вытащить два белых шара (ББ): \( \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12} \)
   • Вероятность вытащить два черных шара (ЧЧ): \( \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12} \)
   • Вероятность вытащить один белый и один черный шар (БЧ или ЧБ): \( \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8} + \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{8} = \frac{18}{72} + \frac{18}{72} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2} \)
3. Теперь рассмотрим, как меняется состав второго ящика в зависимости от переложенных шаров:
   • Если переложили два белых шара (ББ): во втором ящике становится 7 белых и 7 черных шаров.
   • Если переложили два черных шара (ЧЧ): во втором ящике становится 5 белых и 9 черных шаров.
   • Если переложили один белый и один черный шар (БЧ или ЧБ): во втором ящике становится 6 белых и 8 черных шаров.
4. Рассчитаем вероятность вытащить белый шар из второго ящика для каждого из сценариев:
   • При сценарии ББ: \( \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
   • При сценарии ЧЧ: \( \frac{5}{14} \)
   • При сценарии БЧ или ЧБ: \( \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \)
5. Теперь используем формулу полной вероятности:P(белый) = P(ББ) * P(белый | ББ) + P(ЧЧ) * P(белый | ЧЧ) + P(БЧ или ЧБ) * P(белый | БЧ или ЧБ)
6. Подставим значения: P(белый) = \( \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{12} \cdot \frac{5}{14} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \)
7. Вычислим: P(белый) = \( \frac{5}{24} + \frac{5}{168} + \frac{3}{14} = \frac{35}{168} + \frac{5}{168} + \frac{36}{168} = \frac{76}{168} = \frac{19}{42} \)

Ответ: \( \frac{19}{42} \)