17. Известно, что ∠ BST = ∠ AST и ∠ STB = ∠ STA (рис. 49). Докажите, что BK = AK.

Дано: ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA. Доказать: BK = AK.

1. Рассмотрим треугольники BST и AST:
2. ∠BST = ∠AST (по условию)
3. ∠STB = ∠STA (по условию)
4. ST - общая сторона
5. Следовательно, треугольники BST и AST равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует равенство сторон BS = AS и BT = AT.
7. Так как BS = AS, то треугольник ABS равнобедренный. ST - биссектриса угла BSA.
8. Треугольник ABS равнобедренный, ST - биссектриса. Следовательно, ST - медиана, и AT = TB.
9. Рассмотрим треугольники BSK и ASK:
10. BS = AS (доказано)
11. ∠BSK = ∠ASK (т.к. ∠BST = ∠AST)
12. SK - общая сторона
13. Следовательно, треугольники BSK и ASK равны по двум сторонам и углу между ними.
14. Из равенства треугольников следует равенство сторон BK = AK.

Ответ: BK = AK доказано.