12. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и К так, что ВМ = ВК. Докажите, что ∠ ВАК = ∠ BCM.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC. На сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно, такие что BM = BK. Нужно доказать, что углы ∠BAK и ∠BCM равны.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Рассмотрим треугольники ABK и CBM:
3. AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC)
4. ∠ABK = ∠CBM (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC)
5. BK = BM (по условию)
6. Следовательно, треугольники ABK и CBM равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
7. Из равенства треугольников ABK и CBM следует равенство соответствующих углов: ∠BAK = ∠BCM.

Ответ: ∠BAK = ∠BCM доказано.