14. Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ∠ EMK = ∠ FMK.

Дано: EK = FK и EC = FC. Доказать: ∠EMK = ∠FMK.

1. Рассмотрим треугольник EKF. Так как EK = FK, то треугольник EKF равнобедренный, и ∠KEF = ∠KFE.
2. Рассмотрим треугольник ECF. Так как EC = FC, то треугольник ECF равнобедренный, и ∠CEF = ∠CFE.
3. Рассмотрим треугольники EMC и FMC.
4. EC = FC (по условию)
5. EM = FM (так как EK = FK и EC = FC, следовательно, M - середина EF)
6. MC - общая сторона
7. Следовательно, треугольники EMC и FMC равны по трем сторонам.
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, т.е. ∠EMC = ∠FMC.
9. ∠EMK = ∠EMC - ∠KMC, ∠FMK = ∠FMC - ∠KMC. Т.к. ∠EMC = ∠FMC, то ∠EMK = ∠FMK.

Ответ: ∠EMK = ∠FMK доказано.