4. Известно, что ∠BST =∠AST и ∠STB =∠STA (рис. 49). Докажите, что ВК = АΚ.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники BST и AST:

• ∠BST = ∠AST (по условию);
• ∠STB = ∠STA (по условию);
• ST - общая сторона.

Следовательно, треугольники BST и AST равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а значит, соответственные стороны равны: BS = AS и BT = AT. Следовательно, треугольник BSA равнобедренный.

2. Рассмотрим треугольники BKA и AKB:

• ∠BST = ∠AST (по условию);
• ∠STB = ∠STA (по условию);
• ST - общая сторона.

Следовательно, треугольники BKA и AKB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), а значит, соответственные стороны равны: ВК = АК.

Ответ: ВК = АК.