4. Известно, что ∠BST =∠AST и ∠STB =∠STA (рис. 49). Докажите, что ВК = АК.

Рассмотрим треугольники BST и AST:

• ∠BST = ∠AST (по условию)
• ∠STB = ∠STA (по условию)
• Сторона ST – общая.

Следовательно, треугольники BST и AST равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть BS = AS и BT = AT.

Так как BS = AS, то треугольник ABS – равнобедренный, и ST является его высотой и медианой, то есть AK = BK.

Ответ: ВК = АК, что и требовалось доказать.