4. Известно, что ∠BST =∠AST и ∠STB =∠STA (рис. 49). Докажите, что ВК = AK

Дано: ∠BST =∠AST, ∠STB =∠STA

Доказать: BK = AK

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники AST и BST.

ST - общая сторона;

∠BST =∠AST (по условию);

∠STB =∠STA (по условию);

Следовательно, треугольники AST и BST равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам).

2) Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: AS = BS и AT = BT. Значит, треугольник ABS равнобедренный (AS = BS) и треугольник ABT равнобедренный (AT = BT).

3) Рассмотрим треугольники ASK и BSK. AS = BS (по доказанному), ∠AST = ∠BST (по условию), SK - общая сторона. Следовательно, треугольники ASK и BSK равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

4) Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: AK = BK.

Что и требовалось доказать.

Ответ: ВК = AK