5. Прямая, проведённая через вершину А треугольника | ABC, перпендикулярна его медиане СМ и делит её пополам. Найдите сторону АС, если АВ=18 см.

Пусть прямая, проходящая через вершину A и перпендикулярная медиане CM, пересекает CM в точке K.

По условию, AK - прямая, перпендикулярная CM и делящая ее пополам, следовательно, AK является серединным перпендикуляром к CM, а точка K - серединой CM.

Продолжим AK до пересечения с BC в точке D. Рассмотрим треугольник AMC. В нем AK является и высотой, и медианой (по условию, AK перпендикулярна CM и CK=KM). Значит, треугольник AMC - равнобедренный, AM = AC.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Поскольку AK - высота и медиана, то и этот треугольник равнобедренный, AB=AD.

Медиана CM делит сторону AB пополам, т.е. AM = MB. Следовательно, AM = AC = MB.

Т.к. CM - медиана, проведенная к стороне AB, то AM = AB/2 = 18/2 = 9 см

Значит, AC = AM = 9 см.

Ответ: AC = 9 см