1. Известно, что ∠BST =∠AST и ∠STB =∠STA (рис. 49). Докажите, что ВК = AK.

1. Рассмотрим треугольники △AST и △BST:

• ∠AST = ∠BST (по условию)
• ∠STA = ∠STB (по условию)
• Сторона ST – общая

Значит, треугольники △AST и △BST равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Следовательно, AS = BS.

2. Рассмотрим треугольники △ASK и △BSK:

• AS = BS (доказано выше)
• ∠ASK = ∠BSK (так как ∠AST = ∠BST)
• SK – общая сторона

Значит, треугольники △ASK и △BSK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, AK = BK.

Ответ: AK = BK, что и требовалось доказать.