3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки МиК так, что ∠ABM =∠CBK. точка М лежит между точками А и К. Докажите, что AM = CK.

1. Рассмотрим треугольники △ABM и △CBK:

• AB = CB (как боковые стороны равнобедренного треугольника)
• ∠ABM = ∠CBK (по условию)

2. Найдем углы ∠BAM и ∠BCK:

• ∠BAC = ∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника).
• ∠BAM = ∠BAC - ∠MAC
• ∠BCK = ∠BCA - ∠KCA

Так как ∠ABM = ∠CBK, то ∠BAM = ∠BCK.

Значит, треугольники △ABM и △CBK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Следовательно, AM = CK, что и требовалось доказать.

Ответ: AM = CK, что и требовалось доказать.