4. Известно, что АВ = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что ВО = DO.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

• AB = AD (по условию);
• BC = DC (по условию);
• AC - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство углов, то есть ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA.

Рассмотрим треугольники AOB и AOD:

• AB = AD (по условию);
• ∠BAO = ∠DAO (так как ∠BAC = ∠DAC);
• AO - общая сторона.

Следовательно, треугольники AOB и AOD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть BO = DO.

Ответ: ВО = DO.