4. Известно, что CK = DK и ∠CKP = ∠DKP (рис. 47). Докажите, что ZMCP = ZMDP.

Докажем, что ∠MCP = ∠MDP.

Дано: CK = DK, ∠CKP = ∠DKP.

Доказать: ∠MCP = ∠MDP.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники CKP и DKP.
2. CK = DK (по условию).
3. ∠CKP = ∠DKP (по условию).
4. KP - общая сторона.
5. Следовательно, ΔCKP = ΔDKP по двум сторонам и углу между ними.
6. Из равенства треугольников следует, что CP = DP и ∠KCP = ∠KDP.
7. Т.к. CK = DK и CP = DP, то ΔCDK и ΔCDP - равнобедренные.
8. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны, следовательно, ∠KCD = ∠KDC и ∠PCD = ∠PDC.
9. ∠MCP = ∠KCP - ∠KCM, ∠MDP = ∠KDP - ∠KDM.
10. Т.к. ∠KCP = ∠KDP и ∠KCM = ∠KDM, то ∠MCP = ∠MDP.

Ответ: ∠MCP = ∠MDP