4. Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK =∠FMK.

Доказательство ∠EMK = ∠FMK:

1. Рассмотрим треугольники EKC и FKC.
2. EK = FK (по условию)
3. EC = FC (по условию)
4. KC - общая сторона
5. Следовательно, треугольники EKC и FKC равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что ∠EKC = ∠FKC.
7. Значит, CK - биссектриса угла EKF.
8. Так как EK = FK, то треугольник EKF - равнобедренный.
9. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой. Значит, CK - медиана и высота, а K - середина EF.
10. Рассмотрим треугольники EMK и FMK.
11. EK = FK (по условию)
12. MK - общая сторона
13. ∠EMK = ∠FMK
14. Следовательно, треугольники EMK и FMK равны по двум сторонам и углу между ними.
15. Из равенства треугольников следует, что ∠EMK = ∠FMK.

Ответ: ∠EMK = ∠FMK доказано.