4. Известно, что LBST=LAST и LSTB=LSTA (рис. 49). Докажите, что ВК = АК.

Рассмотрим треугольники BST и AST.

• ∠BST = ∠AST (по условию)
• ∠STB = ∠STA (по условию)
• Сторона ST - общая

Следовательно, треугольники BST и AST равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство сторон BS = AS и BT = AT. Получаем, что треугольник ABS и ABT - равнобедренные. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны: ∠SBA = ∠SAB и ∠TBA = ∠TAB. Тогда ∠SBA + ∠TBA = ∠SAB + ∠TAB. Следовательно, ∠ABK = ∠BAK. Получаем, что треугольник ABK - равнобедренный (углы при основании равны), следовательно, BK = AK. Что и требовалось доказать.

Ответ: ВК = АК