625. Известно, что при некоторых натуральных значениях п зн чение выражения п°+ п кратно 30. Будет ли кратно 30 пр тех же значениях п значение выражения: a) n³ + 31n; б) п³-29n?

Если n²+n кратно 30, то n(n+1) делится на 30, значит, произведение двух последовательных чисел делится на 30. Чтобы проверить, делится ли n³+31n на 30, преобразуем выражение: n³+31n = n³ + n + 30n = n(n²+1) + 30n = n(n+1)(n-1) + 2n + 30n = n(n-1)(n+1) + 2n + 30n

a) n³ + 31n = n(n² + 31) = n(n² + n - n + 31) = n(n(n+1) - n + 31) = n²(n+1) - n² + 31n = n²(n+1) + 31n - n²

Выражение n(n+1) делится на 30, значит число n³+31n = n³+n+30n = n(n²+1)+30n. Если n=5, то n²+1 = 26, тогда n(n²+1) = 5(26) = 130. 130 не делится на 30. Значит, выражение n³+31n не делится на 30.

б) n³ - 29n = n³ - n - 28n = n(n² - 1) - 28n = n(n - 1)(n + 1) - 28n. Если n=5, то n(n-1)(n+1) = 5(4)(6) = 120. 120 делится на 30. 28n = 28(5) = 140, 140 не делится на 30. Значит, выражение n³ - 29n не делится на 30.

Рассмотрим выражение n³-29n=n³-n-28n=n(n²-1)-28n=n(n-1)(n+1)-28n. Выражение n(n-1)(n+1) кратно 6, так как это произведение трех последовательных чисел. Далее n(n+1) делится на 30, значит, делится на 5. Если n(n+1) делится на 30, то либо n, либо n+1 делится на 5, а также либо n, либо n+1 делится на 3 и хотя бы одно из чисел делится на 2. Тогда n³-29n = n³-n - 28n = n(n-1)(n+1) - 28n. Если n=5, то n(n-1)(n+1) = 5*4*6 = 120, делится на 30. 28*5 = 140, но не делится на 30.

Ответ: ни a, ни б не будет кратно 30