Известно, что в треугольнике ABC ∠C=90°, ∠MBA =120, AB + BC = 27. Найдите ВС.

Ответ: BC = 9

Пошаговое решение:

1. MBA является внешним углом для треугольника ABC. Следовательно, ∠MBA = ∠C + ∠A = 120°. Поскольку ∠C = 90°, то ∠A = 120° - 90° = 30°.
2. Теперь мы знаем, что ∠A = 30° и ∠C = 90°. Следовательно, ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°.
3. В прямоугольном треугольнике ABC, выразим BC через AB: \[\tan(A) = \frac{BC}{AC}\] \[\tan(30^\circ) = \frac{BC}{AC}\] \[AC = BC / \tan(30^\circ)\]
4. Известно, что AB + BC = 27. Выразим AB через BC, используя теорему Пифагора: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(\frac{BC}{\tan(30^\circ)})^2 + BC^2}\] Подставим AC: \[\sqrt{(\frac{BC}{\tan(30^\circ)})^2 + BC^2} + BC = 27\]
5. Мы знаем, что \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому \(\frac{1}{\tan(30^\circ)} = \sqrt{3}\). \[\sqrt{3BC^2 + BC^2} + BC = 27\] \[\sqrt{4BC^2} + BC = 27\] \[2BC + BC = 27\] \[3BC = 27\] \[BC = 9\]

Ответ: BC = 9