5.43. y = x/1+2x².

Для нахождения области значений функции $$y = \frac{x}{1 + 2x^2}$$ необходимо определить, какие значения может принимать $$y$$ при различных значениях $$x$$.

Преобразуем уравнение:

$$y(1 + 2x^2) = x$$

$$2yx^2 - x + y = 0$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для того чтобы $$x$$ был действительным числом, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D = (-1)^2 - 4(2y)(y) \geq 0$$

$$1 - 8y^2 \geq 0$$

$$8y^2 \leq 1$$

$$y^2 \leq \frac{1}{8}$$

$$-\frac{1}{\sqrt{8}} \leq y \leq \frac{1}{\sqrt{8}}$$

$$-\frac{1}{2\sqrt{2}} \leq y \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$$

$$-\frac{\sqrt{2}}{4} \leq y \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Ответ: $$\left[-\frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}\right]$$.