4. Известно, что ZBST = LAST и LSTB = ∠STAА (рис. 49). Докажите, что ВК = AK.

Дано: ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA.

Рассмотрим треугольники BST и AST.

У них:

• ST - общая сторона.
• ∠BST = ∠AST (по условию)
• ∠STB = ∠STA (по условию)

Следовательно, треугольники BST и AST равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство сторон BS и AS, а также равенство сторон BT и AT.

Теперь рассмотрим треугольники BSK и ASK.

У них:

• BS = AS (доказано выше)
• ∠BSK = ∠ASK = 90° (так как ST перпендикулярна BA)
• SK - общая сторона.

Следовательно, треугольники BSK и ASK равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство сторон BK и AK.

Ответ: BK = AK.