К-5 (§ 7, 8) •2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диа- гональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника.

2. Решим задачу про прямоугольник.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны прямоугольника. Тогда его периметр $$P$$ равен $$2(a + b)$$, а диагональ $$d$$ связана со сторонами теоремой Пифагора: $$a^2 + b^2 = d^2$$.

По условию, $$P = 14 \text{ см}$$ и $$d = 5 \text{ см}$$. Следовательно, имеем систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2(a + b) = 14 \\ a^2 + b^2 = 5^2 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $$a + b = 7$$, откуда $$b = 7 - a$$. Подставим это во второе уравнение:

$$ a^2 + (7 - a)^2 = 25 $$ $$ a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25 $$ $$ 2a^2 - 14a + 24 = 0 $$ Разделим на 2: $$ a^2 - 7a + 12 = 0 $$ Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$ D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1 $$ $$ a_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4 $$ $$ a_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3 $$ Если $$a = 4$$, то $$b = 7 - a = 7 - 4 = 3$$. Если $$a = 3$$, то $$b = 7 - a = 7 - 3 = 4$$. Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

Ответ: 3 см и 4 см