К-1, уровень 3, вариант 1. 3. В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD. Найдите углы ромба.

Обозначим ∠DAB = α. В ромбе диагональ AC биссектрисса угла A, поэтому угол между AC и AD равен α/2. Угол между CD и CA, то есть ∠DCA, также равен α/2.

Биссектриса ∠DCA образует с CA угол α/4. Следовательно, угол между этой биссектрисой и AD равен α/2 + α/4 = 3α/4. По условию он прямой:

3α/4 = 90°, откуда α = 120°.

Соседние углы ромба supplementary, а противоположные равны.

Ответ: ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60°.