К-1, уровень 3, вариант 1. 5. Биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке M и продолжение стороны AB за точку A в точке N. Найдите периметр параллелограмма, если AN = 4, DM = 3.

Обозначим AB = CD = b, AD = BC = a. В треугольнике BCD биссектриса угла C пересекает сторону BD в точке M′ и по теореме о биссектрисе делит её в отношении BM′ : M′D = BC : CD = a : b. Однако по условию точка M лежит на AD. Чтобы найти стороны, используем параллельность AD и BC и свойство биссектрисы: при пересечении AD биссектрисой угла C получается AM = a − b, если M лежит на стороне AD.

Тогда DM = a − AM = b, значит, AB = b = 3. Точка N лежит на продолжении AB за A, поэтому BN = BA + AN = 3 + 4 = 7.

Из AM = a − b и положения N на продолжении AB следует, что биссектриса угла C пересекает продолжение AB в точке N только при соответствующей конфигурации; по условию AN = 4 и DM = 3 получаем AD = AB + DM = 6.

Периметр параллелограмма: 2(AB + AD) = 2(3 + 6) = 18.

Ответ: 18.