К-1, уровень 3, вариант 1. 4. Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите угол AMB.

Пусть сторона квадрата равна 1. Возьмём координаты A(0; 0), B(1; 0), D(0; 1). Поскольку AMD — равносторонний треугольник внутри квадрата, M имеет координаты (√3/2; 1/2).

Тогда векторы MA = (−√3/2; −1/2) и MB = (1 − √3/2; −1/2). Их скалярное произведение равно (√3 − 1)/2, длины векторов — 1 и √(2 − √3).

Получаем cos ∠AMB = ((√3 − 1)/2) / √(2 − √3) = cos 15°. Следовательно, ∠AMB = 15°.

Ответ: 15°.