4. К двум параллельным прямым провели секущую АВ. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при ней пересекают те же прямые соответ- ственно в точках К и Е. Докажите, что АЕ = BK.

Для решения этой задачи потребуется знание свойств параллельных прямых, секущей и биссектрис углов.

1. Пусть даны две параллельные прямые a и b, и секущая AB. Пусть K и E - точки пересечения биссектрис накрест лежащих углов с прямыми a и b соответственно.
2. Рассмотрим накрест лежащие углы, образованные прямыми a и b и секущей AB. Пусть это будут углы \(\angle\)KAB и \(\angle\)EBA.
3. По условию, AK и BE - биссектрисы этих углов. Следовательно, \(\angle\)KAE = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\)KAB и \(\angle\)EBA = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\)EBA.
4. Так как углы \(\angle\)KAB и \(\angle\)EBA накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей AB, то \(\angle\)KAB = \(\angle\)EBA.
5. Следовательно, \(\frac{1}{2}\) \(\angle\)KAB = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\)EBA, то есть \(\angle\)KAE = \(\angle\)EBA.
6. Рассмотрим треугольники \(\triangle\)AKE и \(\triangle\)BKE. У них сторона AE лежит на прямой a, а сторона BK лежит на прямой b.
7. Рассмотрим треугольники AKE и BKE. Так как \(\angle\)KAE = \(\angle\)EBK, углы AKE и BKE равны как вертикальные (или сумма углов в треугольнике), а углы AEK и BKK равны как углы образованные секущей при пересечении параллельных прямых, то \(\angle\)AEK = \(\angle\)BKE.
8. Рассмотрим прямые AE и BK. Заметим, что \(\angle\)KAE = \(\angle\)EBA. Так как эти углы равны, то треугольник AEB - равнобедренный. Значит, AE = BK.

Ответ: AE = BK доказано.