278 К гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС с углом 15° проведены медиана СМ и высота СН. Найдите АВ, если CH = 4.

Дано: ΔABC - прямоугольный, ∠BAC=15°, CH - высота, CM - медиана, CH=4

Найти: AB

Решение:

1. $$∠ABC = 90°-∠BAC = 90°-15°=75°$$
2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, подобных исходному.

Следовательно, $$∠BCH = 15°$$, значит,$$∠HCM = ∠BCM - ∠BCH$$

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два равнобедренных треугольника, значит, CM = MB, ΔCMB - равнобедренный, углы при основании равны. Значит, $$∠MCB = ∠ABC = 75°$$.

Тогда, $$∠HCM = 75°-15°=60°$$

3. $$ΔCMH$$: $$∠MHC=90°$$, $$∠HCM = 60°$$, следовательно, $$∠CMH = 90°-60°=30°$$
4. Так как катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, то $$CM = 2*CH=2*4=8$$
5. Так как CM- медиана, то $$AB = 2*CM=2*8=16$$

Ответ: 16