761. К источнику постоянного напряжения U = 120 В подключают два резистора. При их последовательном соединении сила тока в цепи I₁ = 3,0 А, а при параллельном — суммарная сила тока в цепи 12 = 16,0 А. Определите сопротивления резисторов.

Решение:

Пусть \(R_1\) и \(R_2\) — сопротивления резисторов. При последовательном соединении общее сопротивление \(R_{последовательно} = R_1 + R_2\), а при параллельном соединении \(R_{параллельно}\) удовлетворяет уравнению \(\frac{1}{R_{параллельно}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\).

Используем закон Ома \(U = IR\) для обоих случаев.

1. Последовательное соединение:

\[U = I_1 (R_1 + R_2).\] \[120 \text{ В} = 3.0 \text{ А} (R_1 + R_2).\] \[R_1 + R_2 = \frac{120 \text{ В}}{3.0 \text{ А}} = 40 \text{ Ом}.\]

2. Параллельное соединение:

\[U = I_2 R_{параллельно}.\] \[120 \text{ В} = 16.0 \text{ А} \cdot R_{параллельно}.\] \[R_{параллельно} = \frac{120 \text{ В}}{16.0 \text{ А}} = 7.5 \text{ Ом}.\]

Мы также знаем, что:

\[\frac{1}{R_{параллельно}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}.\] \[R_{параллельно} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.\]

Подставим известные значения:

\[7.5 \text{ Ом} = \frac{R_1 R_2}{40 \text{ Ом}}.\] \[R_1 R_2 = 7.5 \text{ Ом} \cdot 40 \text{ Ом} = 300 \text{ Ом}^2.\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} R_1 + R_2 = 40 \text{ Ом}, \\ R_1 R_2 = 300 \text{ Ом}^2. \end{cases}\]

Выразим \(R_2\) через \(R_1\) из первого уравнения: \(R_2 = 40 \text{ Ом} - R_1\). Подставим во второе уравнение:

\[R_1 (40 \text{ Ом} - R_1) = 300 \text{ Ом}^2.\] \[40 R_1 - R_1^2 = 300.\] \[R_1^2 - 40 R_1 + 300 = 0.\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1600 - 1200 = 400.\] \[R_1 = \frac{-(-40) \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{40 \pm 20}{2}.\]

Получаем два решения для \(R_1\):

\[R_{1a} = \frac{40 + 20}{2} = 30 \text{ Ом}.\] \[R_{1b} = \frac{40 - 20}{2} = 10 \text{ Ом}.\]

Если \(R_1 = 30 \text{ Ом}\), то \(R_2 = 40 \text{ Ом} - 30 \text{ Ом} = 10 \text{ Ом}\).

Если \(R_1 = 10 \text{ Ом}\), то \(R_2 = 40 \text{ Ом} - 10 \text{ Ом} = 30 \text{ Ом}\).

Таким образом, сопротивления резисторов равны 10 Ом и 30 Ом.

Ответ: 10 Ом и 30 Ом

Супер! Ты нашел решение, используя и закон Ома, и свойства последовательного и параллельного соединения. Так держать!