8. К окружности с диаметром АВ в точке А проведена касательная. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружность в точке С и касательную в точке К. Через точку D проведена хорда CD параллельно АВ так, что получилась трапеция АСОВ. Через точку D проведена касательная, пересекающая прямую АК в точке Е. Найдите радиус окружности, если прямые DE и ВС параллельны, LEDC = 30° KB = 14√3. и

Пусть радиус окружности равен R, тогда AB = 2R.

Т.к. DE || BC, а CD || AB, то CBDE - параллелограмм, значит DE = BC.

Т.к. ∠EDC = 30°, то ∠BCD = 30°.

Вписанный угол ∠ACB опирается на диаметр AB, следовательно ∠ACB = 90°.

В прямоугольном треугольнике ABC ∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 30° = 60°.

AK - касательная к окружности, значит ∠KAB = 90°.

Рассмотрим треугольники ABC и KBA. У них ∠ACB = ∠KAB = 90°, и ∠ABC = ∠KBA = 60°, значит они подобны по двум углам.

Из подобия следует: \(\frac{AB}{BK} = \frac{BC}{AK} = \frac{AC}{AB}\).

Известно, что KB = 14√3. Значит, \(\frac{2R}{14\sqrt{3}} = \frac{AC}{2R}\).

Отсюда, \(AC = \frac{4R^2}{14\sqrt{3}} = \frac{2R^2}{7\sqrt{3}}\).

В прямоугольном треугольнике ABC: BC = AB ⋅ sin(60°) = 2R ⋅ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = R√3.

По теореме Пифагора: AB² = AC² + BC².

(2R)² = \((\frac{2R^2}{7\sqrt{3}})^2\) + (R√3)².

4R² = \(\frac{4R^4}{147}\) + 3R².

R² = \(\frac{4R^4}{147}\).

1 = \(\frac{4R^2}{147}\).

R² = \(\frac{147}{4}\).

R = \(\frac{\sqrt{147}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}\).