7. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°-На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и У, АХ = ВХ и ВАХ = ZYAX Найдите длину отрезка АҮ, если AX = 24.

Т.к. AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный, значит ∠BAC = ∠BCA = 75°.

Пусть ∠BAX = ∠YAX = α. Тогда ∠BAC = 2α = 75°, следовательно α = 37.5°.

В треугольнике ABX, AX = BX, значит, он тоже равнобедренный, и ∠BAX = ∠ABX = α = 37.5°.

∠AXB = 180° - 2α = 180° - 2 ⋅ 37.5° = 105°.

∠AXC = 180° - ∠AXB = 180° - 105° = 75°.

В треугольнике AXY ∠YAX = ∠XYA = 37.5°. Следовательно, AY = XY.

В треугольнике AXC ∠XAC = 75° - 37.5° = 37.5° = ∠AXC, следовательно AX = XC = 24.

Тогда, XY = AC - AX = BC - AX

Т.к. XY= AY то AY=AC-XC

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме синусов:

\[\frac{BC}{\sin ∠BAC} = \frac{AC}{\sin ∠ABC}\] \[\frac{BC}{\sin 75°} = \frac{AC}{\sin 30°}\] \[BC = \frac{AC \cdot \sin 75°}{\sin 30°} = 2AC \cdot \sin 75°\] \[XY = BC - AX=2AC \cdot \sin 75°-AX \] Т.к ∠ACB = 75°, то ∠ABC = 180-2⋅75=30 \frac{AC}{sin(30)} = \frac{24}{sin(37.5)} \frac{AY}{sin(37.5)} = \frac{24}{sin(37.5)} => AY = \frac{24 sin(37.5)}{sin(7.5)} = 24⋅\frac{ \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} }{\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}} = 24⋅\frac{ \sqrt{2-\sqrt{2}} }{\sqrt{2-\sqrt{3}}} = \approx 12.433